f(θ) = -sinθ – cosθ + 2 の合成問題 – sinθで合成するとどうなるか

高校数学の問題で、関数 f(θ) = -sinθ – cosθ + 2 を sinθ で合成する問題について解説します。この問題の解法として、√2sin(θ – 3/4π) + 2 と √2sin(θ + 5/4π) + 2 の両方の式が出てきますが、どちらが正しいのか、またその理由を説明します。

問題の設定

まず、問題では f(θ) = -sinθ – cosθ + 2 という関数を合成するように指示されています。ここで、sinθ で合成する方法を考える必要があります。

関数の合成方法

関数の合成では、基本的に異なる三角関数を一つの関数で表現できるようにします。まず、-sinθ – cosθ を合成するために、同じ形にする必要があります。

合成の手順

-sinθ – cosθ は、次のように変形できます。

-sinθ – cosθ = -√2 * sin(θ + 3/4π)

これにより、元の式は次のように書き換えられます。

f(θ) = √2 * sin(θ + 3/4π) + 2

なぜ sin(θ + 5/4π) ではダメなのか

sin(θ + 5/4π) を使用する場合は、範囲に合わない可能性があります。三角関数の周期性により、+5/4π という角度が θ の範囲に合わない場合があるため、適切な範囲で解を求める必要があります。

まとめ

最終的には、f(θ) = √2 * sin(θ + 3/4π) + 2 が正しい解答です。これは、元の式の三角関数を合成した結果として適切な範囲内で求めた解となります。