偏微分方程式の解法：完全解と一般解の導出方法

この問題は、x(∂z/∂x) + y(∂z/∂y) = (x + y)z log z という偏微分方程式の完全解と一般解を求める問題です。ここではその解法を順を追って解説します。

問題の理解と式の整理

与えられた偏微分方程式は、xとyについての微分が含まれています。まず、この方程式を整理して、どのようにして解を求めるかを考えていきます。式の右辺にあるx + yとz log zが重要な役割を果たします。

このような形の偏微分方程式は、変数分離法を使うことで解ける場合があります。まず、xとyの変数で分けられるように式を変形します。

次に、変数分離法を使い、適切な積分を行うことで、zの式を求めることができます。この段階では、特に積分定数をどのように取り扱うかが重要です。

完全解を求めるためには、最終的に式に適切な境界条件を加えることが必要です。これにより、定数が一意に決まり、完全解を得ることができます。

一般解では、境界条件が与えられていないため、定数を含んだ形の解となります。したがって、一般解には不特定の定数が含まれ、それらの定数を特定の条件に基づいて決定します。

この問題の解法は、まず変数分離法を使い、積分を行い、完全解と一般解を導出する過程を含みます。偏微分方程式の解法では、境界条件や初期条件に応じて、解の形が異なることを理解することが重要です。