Z/60Zのイデアルとは？7がイデアルでない理由について解説

Z/60Zのイデアルに関して、7がイデアルでない理由について理解することは、環論の基本的な知識を深める上で非常に重要です。この問題に対する理解を深めるために、イデアルの定義とその性質を踏まえた上で、なぜ7がZ/60Zのイデアルではないのかを解説します。

イデアルとは？

まず、イデアルの基本的な定義を復習しましょう。環Rの部分集合Iがイデアルであるためには、次の二つの条件を満たす必要があります。

• 加法に関して閉じている：もしa, b ∈ Iであれば、a + b ∈ I
• 任意のr ∈ Rに対して、ra ∈ I（またはar ∈ I）

この定義から、イデアルは環の元と他の元との積がイデアルの元になるような集合であることがわかります。

Z/60Zのイデアルとは？

Z/60Zは60を法とする整数環です。この環のイデアルは、60で割った余りが一定の数である元たちの集合です。たとえば、Z/60Zにおける「7」のイデアルは、7で割った余りが0である数の集合に対応します。

ここで重要なのは、「7がZ/60Zのイデアルではない」ということです。この点について深掘りしていきます。

なぜ7はZ/60Zのイデアルではないのか？

7がZ/60Zのイデアルではない理由は、7が加法的に閉じていないことにあります。7を含む部分集合がイデアルになるためには、7に環の他の元（例えば、Z/60Zの任意の元）を掛け算しても、依然としてその集合の中に含まれる必要があります。しかし、7とZ/60Zの元との積が再び7の倍数にならないことがあるため、7はイデアルにはならないのです。

イデアルの理解を深めるための具体例

たとえば、7と1の積は7であり、これは7の倍数ですが、7と他の数（例えば13）との積は91となり、これは60の倍数ではありません。このため、7を含む部分集合がZ/60Zのイデアルにはならないことがわかります。

まとめ

Z/60Zのイデアルとして「7」を考えるとき、加法的閉包性や環の元との積に関する性質が重要です。7はその条件を満たさないため、Z/60Zのイデアルではありません。イデアルの定義とその性質をしっかりと理解することが、環論における基本的な知識を深めるために非常に重要です。