高校数学数Ⅱ 不等式の証明に関する疑問解消

高校数学の「不等式の証明」というテーマに関して、特に「A > B ⇔ A – B > 0」という基本的な事実に関する疑問が寄せられています。この疑問を解決するために、符号が≧の場合でも成り立つか、またその理由について、わかりやすく解説していきます。

1. 符号が≧の場合でも成り立つか？

まず、A > B ⇔ A – B > 0 という事実についてですが、この関係は「＞」という不等号に関するものです。もし符号が「≧」であればどうなるかというと、この場合も基本的には成り立ちます。ただし、A ≧ B という不等式を扱う場合、A – B ≥ 0 と考えます。

これは、A と B が等しい場合（A = B）でも成立しますが、A > B の場合も成立します。したがって、「A ≧ B ⇔ A – B ≥ 0」という関係に変わることになります。

A > B ⇔ A – B > 0 が成り立つ理由は、実際に数の差を取ることで、A と B の大小関係が明確に示されるからです。もし A > B であれば、A – B は正の数になります。一方で、A = B であれば、A – B は0になります。

これにより、A – B の符号によって A と B の関係がそのまま示されるため、A > B ⇔ A – B > 0 は数学的に正しい事実となります。

他の符号（例えば A < B の場合）でも同様の原理は成り立ちます。例えば、A < B であれば、A - B < 0 となります。この場合も、A < B ⇔ A - B < 0 という関係が成り立ちます。

このように、不等式の符号によって、差を取った結果が正か負かを判断することができ、大小関係が明確に示されます。

今回の質問に関して、A > B ⇔ A – B > 0 の関係が成り立つ理由と、符号が≧の場合や他の符号でもこの関係が成り立つことを解説しました。基本的な不等式の性質を理解することで、数学の証明問題や問題集の解法がスムーズに進むようになります。