質問者が抱えている疑問は、共テ数学の統計推測における「標本比率の分散」についてのものです。具体的には、標本比率の分散がなぜ「p(1-p)/n」になるのかについて解説します。まず、問題の設定を整理し、なぜこのような分散が求められるのかを詳しく見ていきましょう。
統計推測の基本的な考え方
統計推測では、母集団から抽出した標本に基づいて、母集団の特性を推定します。このとき、母集団のパラメータを推定するために、標本から得られる統計量（この場合、番組Eを視聴した世帯の割合）を用います。質問の中で述べられている「p」は、母集団における番組Eの視聴率を示しており、「R」はその標本比率を示しています。
標本比率の分散と正規分布
標本比率の分散が「p(1-p)/n」となる理由は、二項分布に基づいています。各世帯が番組Eを視聴する確率はp、視聴しない確率は1-pです。標本調査における「視聴した世帯数」の分布は二項分布に従い、その分散は「np(1-p)」となります。したがって、標本比率の分散は「p(1-p)/n」となります。ここで、nは標本サイズです。
なぜ分散がp(1-p)/nになるのか
分散の公式「p(1-p)/n」は、標本比率が母集団比率pに収束する過程を反映しています。nが大きくなると、標本比率は母集団比率に近づきますが、その標本比率がどれくらいばらつくかを表すのが分散です。この分散は、標本の大きさnによって縮小し、標本サイズが大きければ大きいほど、推定値はより精度高くなります。
標本比率の平均と分散の求め方
統計学では、標本比率の平均は母集団比率pと一致します。分散については、上記のように「p(1-p)/n」で表されます。これを求めるためには、標本調査における確率変数T（視聴した世帯数）の分布を理解する必要があります。Tが二項分布に従う場合、標本比率R=T/nは近似的に正規分布に従います。この正規分布の平均がpで、分散が「p(1-p)/n」になります。
まとめ
統計推測における標本比率の分散は、「p(1-p)/n」という公式で求められます。この公式は、標本調査における視聴率のばらつきを示しており、nが大きくなるほど、推定の精度が向上することを示しています。質問者が持っていた疑問について、統計学の基本的な原則に基づいて解説しました。このように、統計推測では標本調査を基に母集団の特性を推定する際に、分散や平均を適切に計算することが重要です。
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