正方形の辺を内分する点を求め、その後、繰り返し新しい正方形を作成していく問題です。与えられた条件に基づき、n番目までの正方形の周の長さの和を求める方法について解説します。
1. 問題の設定
問題では、最初の正方形ABCDが与えられており、その各辺を3：4に内分する点を求めて新しい正方形を作成していきます。最初の正方形A₁B₁C₁D₁の一辺の長さが5/7であり、次に同様の方法で作成された正方形A₂B₂C₂D₂の一辺の長さが25/49という形で進んでいきます。
このように、n番目の正方形AnBnCnDnの一辺の長さは (5/7)^n と表されます。最終的に求めるべきは、最初の正方形とそれ以降の全ての正方形の周の長さの和です。
2. 正方形の周の長さの求め方
正方形の周の長さは、一辺の長さに4を掛けたものです。したがって、n番目の正方形AnBnCnDnの周の長さは、(5/7)^n × 4 となります。
各正方形の周の長さを足し合わせることで、最初の正方形ABCDからn番目の正方形までの周の長さの和を求めることができます。
3. 周の長さの和を求める式
最初の正方形ABCDの周の長さは 4（辺の長さ1の正方形なので4×1=4）です。次に、n番目の正方形の周の長さは (5/7)^n × 4 となります。このため、n番目までの周の長さの和は以下の式で求められます。
周の長さの和 = 4 + 4 × (5/7) + 4 × (5/7)^2 + … + 4 × (5/7)^(n-1)
この式は、等比数列の和として求めることができます。等比数列の和の公式を使うと、次のように計算できます。
周の長さの和 = 4 × {1 – (5/7)^n} / (1 – 5/7)
したがって、周の長さの和は、14 × {1 – (5/7)^n} という式で表されます。
4. 計算のコツとポイント
この問題を解く際に大切なのは、最初の正方形の周の長さを含めて、次の正方形からの周の長さの合計を等比数列として扱うことです。特に、等比数列の和を求める公式を使うことで、n番目までの周の長さの和を簡単に求めることができます。
また、繰り返し出てくる(5/7)^n という項をうまく整理して、式を簡素化することが計算のコツです。
まとめ
この問題は、最初の正方形からn番目までの正方形の周の長さの和を求める問題です。最初の正方形の周の長さと、等比数列の和を組み合わせることで、最終的に周の長さの和を求めることができます。式の整理と等比数列の理解がカギとなる問題です。
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