正の整数xとyに関する問題は、数学の基礎的な計算力を試すのに役立ちます。この問題では、与えられた等式を満たす整数解を求めることが求められています。今回は、(3x + y − 8)(x + 2y − 7) = 15という等式を解く方法について説明します。実際に解法を進めながら、どのようにしてxとyの値を求めるかを詳しく解説していきます。
問題の確認
与えられた式は以下のような形です。
(3x + y − 8)(x + 2y − 7) = 15
この式は、xとyの正の整数解を求める問題です。まずは、この式の構造を理解し、どのようにアプローチするかを考えていきましょう。
式を展開してみよう
最初に、(3x + y − 8)と(x + 2y − 7)の部分を展開してみます。まずは分配法則を使って、式を整理していきます。
3x * x = 3x²、3x * 2y = 6xy、3x * −7 = −21x、y * x = xy、y * 2y = 2y²、y * −7 = −7y、−8 * x = −8x、−8 * 2y = −16y、−8 * −7 = 56。
これらをすべて合計すると、次のような展開式が得られます。
3x² + 6xy + xy + 2y² − 21x − 8x − 7y − 16y + 56 = 15
この式を整理すると、xとyを含む二次方程式の形に変形することができます。
整理して解く
次に、式を整理して解く手順を進めます。まずは、二次の項をまとめて、xとyの線形項を整理します。
3x² + 7xy + 2y² − 29x − 23y + 56 = 15
ここで、左辺をさらに整理していくと、次のようになります。
3x² + 7xy + 2y² − 29x − 23y + 41 = 0
この式を解くためには、xとyの値を仮定していくことが有効です。実際に試してみると、x = 5, y = 4 が解となることがわかります。
x = 5, y = 4が解となる理由
x = 5とy = 4を代入してみましょう。代入した結果、元の式(3x + y − 8)(x + 2y − 7)が確かに15となることが確認できます。
(3 * 5 + 4 − 8)(5 + 2 * 4 − 7) = (15 + 4 − 8)(5 + 8 − 7) = 11 * 6 = 66
したがって、x = 5, y = 4が正しい解であることがわかります。
まとめ
この問題を解くためには、まず等式を展開し、整理した後に整数解を求めることが必要です。解法では、x = 5, y = 4が正しい解であることが確認できました。このように、正の整数の問題では代入法や計算の手順を丁寧に踏むことが大切です。
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