極限を求める計算は数学の中でも非常に重要ですが、細かな誤りが結果に大きく影響を与えることがあります。本記事では、特に式の変形過程での誤りについて、どのように正しい方法で解くべきかを解説します。
問題の式と誤りの詳細
質問者が提示した式は、以下のような極限の計算を含んでいます。
lim (2n(n+1)+n) / n² (n→∞) = lim (2n(n+1) + n) / n²
この式の中で、nが無限大に近づくときの極限を求める方法ですが、いくつかの計算ミスや誤った変形が含まれています。
誤りのポイント
まず、式を分解してみましょう。
2n(n+1) + n → 2n² + 2n + n = 2n² + 3n
ここまでは正しいです。しかし、この式をn²で割った場合、計算結果に誤りが生じている部分があります。具体的には、分数の各項をn²で割る際に、誤って項を分けてしまっています。
正しくは、次のように分けて計算すべきです。
lim (2n² + 3n) / n² = lim (2 + 3/n)
ここで、nが無限大に近づくと、3/nは0に収束します。したがって、残るのは2だけです。
正しい計算方法
極限の計算で重要なのは、分数式を整理し、各項に適切な限界を適用することです。上記の例では、nが無限大に近づくときに、3/nが0に収束することを利用して計算しました。
したがって、正しい計算は次のように進みます。
lim (2n² + 3n) / n² = lim (2 + 3/n) = 2
誤りを避けるためのポイント
極限の計算を行う際に誤りを避けるためには、各項の無限大での振る舞いをしっかりと理解することが重要です。例えば、nが無限大に近づくときに、n分の定数は0に収束するという基本的な性質を覚えておくと便利です。
また、式の変形においては、分母や分子の項を適切に整理し、間違って項を分けてしまわないように注意しましょう。
まとめ
極限の計算において、式を正しく分解し、各項の極限を正確に求めることが重要です。誤った計算を避けるためには、無限大における振る舞いを理解し、しっかりと式を整理することが必要です。最終的に、この問題の正しい結果は2であることがわかりました。
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