区分求積法における積分区間と具体的な解法について

今回は区分求積法について具体的な解法を解説します。問題は、lim［n→∞］1/nΣ［k=1→ n²］2e^（-kπ/n）を解くというものです。このような問題を解くために、まずは区分求積法とその積分区間の取り方について理解を深めることが重要です。

区分求積法とは

区分求積法は、積分の近似法であり、関数を小さな区間に分けてその面積を足し合わせる方法です。基本的には、積分区間を細かく区切ってその各区間の長さを掛け算し、関数の値を求めていきます。最終的に区間が無限に細かくなると、積分に近づいていきます。

問題の読み解き

今回の問題では、Σの区間がk=1→n²とされています。これが示すのは、n²回にわたって関数の値を求めるということです。さらに1/nを掛け算しているため、区間が細かく分割されていきます。次に、この問題を積分区間に変換するために、Σを積分に置き換えていきます。

積分区間を求める

問題の式 lim［n→∞］1/nΣ［k=1→ n²］2e^（-kπ/n）では、kが1からn²までの範囲で変化します。この時、1/nの項が積分区間の幅を決めます。積分区間は、k=1からk=n²までの区間をnで割ることで、区間が無限に細かくなるように設定されます。この場合、積分区間は0から1に収束することがわかります。

解法の流れ

具体的には、まずΣを積分に変換します。式を積分に変換すると、積分区間は[0, 1]となり、式は次のようになります。∫[0, 1] 2e^(-πx) dx。この積分を計算すれば、求める値を得ることができます。

まとめ

今回の問題を解くために、区分求積法を用いて積分区間を求め、Σを積分に変換して解く方法を学びました。この問題の解法を通して、区分求積法の理解が深まりました。数学の問題を解く際には、問題を積分に変換して計算することが重要です。