実数の推移律とその対偶に関する論理的解説

実数の推移律を論理記号で表す方法について解説します。まず、実数の推移律とは、ある条件を満たす実数について、推移的な関係が成り立つことを示す法則です。この法則を正しく論理記号に表す方法と、その対偶について考えていきます。

実数の推移律の論理記号での表現

質問にあったように、実数の推移律を論理記号で表すと次のようになります。

∀a∀c∃b (((a≦b)∧(b≦c))→(a≦c))

この表現は、任意の実数aとcについて、bが存在し、aがb以下かつbがc以下ならば、aがc以下であることを意味しています。これは、実数の推移律に基づく数学的な命題です。

推移律の対偶の求め方

推移律の命題が与えられたとき、その対偶を求めることが次のステップとなります。命題の対偶は、元の命題の条件と結論を反転させたものです。対偶を求めるためには、次のように考えます。

元の命題：もしa≦bかつb≦cならば、a≦c。

対偶命題：もしa＞cならば、a＞bまたはb＞c。

選択肢(i)と(ii)の確認

与えられた選択肢を確認しましょう。対偶命題を正しく表しているのは選択肢(i)です。理由として、対偶命題は「a＞cならば、a＞bまたはb＞c」となります。したがって、選択肢(i)は次のようになります。

∀a∀c∃b ((a＞c)→((a＞b)∨(b＞c)))

これに対し、選択肢(ii)は対偶命題とは異なります。選択肢(ii)は、aとcの範囲に制約がないため、対偶命題としては適切ではありません。

まとめ

実数の推移律は、論理記号で表すと「∀a∀c∃b (((a≦b)∧(b≦c))→(a≦c))」という形になります。この命題の対偶を求めると、選択肢(i)「∀a∀c∃b ((a＞c)→((a＞b)∨(b＞c)))」が正しい対偶命題となります。実数の推移律を理解し、その対偶を正しく求めることが、数学的な論理を学ぶ上で重要です。