二次関数の最小値と最大値を求める方法：kの式で表す

この記事では、二次関数の最小値を求める問題について、特に定数kに関する解法を解説します。質問者様の疑問に応えるために、(1)の最小値をkの式で表す方法と、(2)の最大値を求めるためのkの値の求め方について詳しく説明します。

1. 二次関数の最小値を求める

まず、二次関数の一般的な形についておさらいしましょう。与えられた式はy = x² + 4kx + 24kです。この関数は、kによって異なるグラフの形を描きますが、最小値を求めるためには、頂点の座標を利用します。

二次関数のグラフは、上に凸（a > 0）の場合には最小値を、下に凸（a < 0）の場合には最大値を持ちます。今回の関数はy = x² + 4kx + 24kなので、a = 1と正の値です。したがって、グラフは上に凸で、最小値を持つことが確定しています。

二次関数の最小値（または最大値）は、グラフの頂点にあります。頂点のx座標は、次の式で求めることができます。

x = -b / 2a

ここで、aはx²の係数、bはxの係数です。今回の式では、a = 1、b = 4kなので、頂点のx座標は次のように求められます。

x = -4k / 2(1) = -2k

次に、x = -2kを元の式に代入して、y（最小値）を求めます。

y = (-2k)² + 4k(-2k) + 24k

y = 4k² – 8k² + 24k

y = -4k² + 24k

したがって、最小値m(k)はy = -4k² + 24k となります。これが(1)の解答です。

(2)の問題では、m(k)を最大にするkの値を求める必要があります。最小値を最大化するためには、m(k)をkについて微分して、導関数が0になる点を求めます。

m(k) = -4k² + 24kを微分すると、

dm(k)/dk = -8k + 24

これを0にしてkの値を求めます。

-8k + 24 = 0

k = 3

したがって、m(k)が最大となるkの値はk = 3です。

次に、k = 3を最小値の式m(k)に代入して、m(k)の最大値を求めます。

m(3) = -4(3)² + 24(3)

m(3) = -4(9) + 72

m(3) = -36 + 72

m(3) = 36

したがって、m(k)の最大値は36です。

問題(1)では、m(k) = -4k² + 24kという式で最小値を求めました。問題(2)では、m(k)を最大にするkの値をk = 3と求め、そのときの最大値を36と求めました。

この問題では、二次関数の最小値や最大値を求めるために、頂点の座標を利用する方法や微分を使った最大化の技術を学びました。これらのテクニックは、さまざまな数学的問題を解く際に非常に役立つ方法です。