高校入試数学の問題解説：関数y=x²におけるyの変域の一致の解法

今回は、高校入試数学の問題について解説します。「関数y=x²の変域」や「変域が一致する条件」を理解するための問題です。問題文を元に、どのようにしてaの値を求めるかを詳しく説明します。

問題の確認と解法のアプローチ

まず、問題文を整理しましょう。関数y=x²において、xの変域がa≦x≦a+4のときyの変域と、xの変域がa+1≦x≦a+6のときのyの変域が一致するという条件です。この条件からaの値を求める方法を見ていきます。

関数y=x²では、xの値によってyの値が決まります。xの変域がa≦x≦a+4の場合、yの変域はx²の値を計算して求めます。同様に、xの変域がa+1≦x≦a+6の場合のyの変域も計算します。これらの変域が一致するための条件を求めます。

具体的に言うと、xの変域がa≦x≦a+4の場合、yの最小値と最大値を求め、それとxの変域がa+1≦x≦a+6の場合のyの最小値と最大値を一致させる必要があります。

まず、xの変域a≦x≦a+4のyの変域を求めます。この場合、y=x²のため、xがaのときとa+4のときのyの値を求めます。

次に、xの変域a+1≦x≦a+6のyの変域を求めます。この場合も、xがa+1のときとa+6のときのyの値を求め、それらが一致する条件を式に表します。

最後に、これらの条件を満たすaの値を求めます。

解説には「a=−3」という式が出てきますが、これがなぜ成り立つのかを説明します。式の立て方と計算をしっかりと理解すれば、このaの値が得られる理由が分かります。

実際に計算してみると、xの変域がa≦x≦a+4とa+1≦x≦a+6の場合のyの変域が一致するためには、aの値が-3であることが分かります。

a=-3を問題に当てはめて確認してみましょう。xの変域がa≦x≦a+4の場合、またはa+1≦x≦a+6の場合、それぞれのyの変域が一致することが確認できるでしょう。

これにより、問題文の条件を満たすaの値が-3であることが納得できるはずです。

関数y=x²におけるxの変域が与えられたとき、yの変域が一致する条件を求める問題では、まずそれぞれの変域でyの最小値と最大値を計算し、その一致する条件を求めます。最終的に、aの値が-3であることが分かります。この問題を通して、関数の変域の求め方を理解することができます。