本記事では、1次変換を利用して重積分を計算する方法について解説します。特に、与えられた2つの問題に対する解法を示し、どのように変換を行い、計算を進めていくかを具体的に説明します。
問題1：∫∫D (x+y)e^(x-2y) dxdy
与えられた領域Dは、次の2つの条件で定義されています。
- 1 ≦ x + y ≦ 3
- 0 ≦ x – 2y ≦ 1
この問題を解くために、変数変換を行い、計算を簡単にします。変換式として、以下のように置換します。
- u = x + y
- v = x – 2y
この変換により、積分領域も新しい変数uとvに基づいて定義され、式をより簡単に計算できます。
変換後の積分式と計算
変数変換後の積分式は次のようになります。
∫∫D (x + y)e^(x – 2y) dxdy = ∫∫D’ u * e^(u – 2v) du dv
新しい積分範囲に基づいて積分を行い、最終的な結果を求めます。ここで重要なのは、変数変換を行うことで、計算が簡単になる点です。
問題2：∫∫D (x + 2y)^3 dxdy
次に、次の重積分を考えます。
∫∫D (x + 2y)^3 dxdy
この問題でも変数変換を利用して積分を行います。与えられた領域Dは次の通りです。
- 0 ≦ x – y ≦ 1
- 0 ≦ x + 2y ≦ 2
ここでも、変数変換を行い、計算を簡単に進めます。具体的な変換式は以下の通りです。
- u = x – y
- v = x + 2y
変換後、積分式を次のように表します。
∫∫D (x + 2y)^3 dxdy = ∫∫D’ v^3 du dv
まとめとアプローチのポイント
このように、1次変換を利用することで、複雑な積分をより簡単に計算することができます。変数変換を行うことで、積分範囲や式が簡略化され、計算が容易になります。問題1と問題2の解法を通じて、変数変換の方法とその効果を理解し、実際にどのように計算を進めるかを学ぶことができます。
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