9人を3組に分ける場合の数とその計算方法：区別をつける場合の考え方

数学

2026.01.10

この問題では、9人を4人、3人、2人の3組に分ける場合の数と、もし3組に名前をつけて区別した場合の違いについて考えます。数学的な計算方法や組み合わせを求める手法を解説し、区別をつけることで計算がどのように変わるのかを理解します。

問題(1)：9人を4人、3人、2人の3組に分ける場合の数

まず、9人を4人、3人、2人の3組に分ける場合を考えます。このような場合、単純に計算するのではなく、まず4人のグループを選ぶ方法、次に3人のグループを選ぶ方法、最後に残りの2人を2人組にする方法を考えます。

この計算は組み合わせの問題です。最初に9人の中から4人を選ぶ方法は、9C4（9人の中から4人を選ぶ組み合わせ）です。次に残りの5人から3人を選ぶ方法は5C3、最後に残った2人は自動的に2人組として決まります。

したがって、計算式は次のようになります。

9C4 × 5C3 × 2C2 = (9! / 4!5!) × (5! / 3!2!) × 1 = 126 × 10 × 1 = 1260

したがって、9人を4人、3人、2人の3組に分ける方法の数は1260通りとなります。

次に、9人を3人ずつの3組に分ける場合を考えます。ここでは、最初に9人を3人ずつに分ける方法を計算しますが、重要なのは「組に名前をつけるか、つけないか」です。もし組に名前をつける場合、9人を3人ずつに分ける方法は単純に9人の順列を計算することになります。

9人を3つのグループに分ける順列の計算式は次のようになります。

9! / (3!3!3!) = (9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (6 × 6 × 6) = 1680通りです。

もし、3つのグループに名前をつけない場合（順番を気にしない場合）、「3つのグループ間の順番を区別しない」ため、最後に3!で割ってあげる必要があります。これを考慮した計算式は次のようになります。

9! / (3!3!3!3!) = 1680 / 6 = 280通りです。

数学の組み合わせの問題において、区別をつけるかつけないかによって計算方法が異なることがわかります。もし3つのグループに名前をつける場合は順列を計算し、名前をつけない場合はグループ間の順番を考慮して割り算を行います。この問題を通して、組み合わせや順列の計算の仕組みを理解することができます。