点A（-2,0）からの距離と点B（1,0）からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求める問題では、幾何学的なアプローチが必要です。この問題を解くためには、点Pが描く軌跡が円であることを示す必要があります。具体的な解法とその過程を詳しく解説します。
問題の整理と式の設定
まず、点A（-2,0）から点P（x,y）への距離と、点B（1,0）から点Pへの距離の比が2:1であるという条件を使います。この比率を数式に表すため、次のように設定します。
点Aから点Pへの距離は、距離の公式を用いて次のように表されます。
AP = √((x + 2)² + y²)
同様に、点Bから点Pへの距離は。
BP = √((x – 1)² + y²)
距離の比を利用する
問題の条件では、APとBPの比が2:1であると指定されています。したがって、次の式が成り立ちます。
AP / BP = 2 / 1
これを数式で表すと。
√((x + 2)² + y²) / √((x – 1)² + y²) = 2
式を整理して円の方程式を導く
上記の式を平方して整理します。まず両辺を平方して、分母を除去します。
((x + 2)² + y²) / ((x – 1)² + y²) = 4
これを整理すると、最終的に次の方程式が得られます。
(x + 2)² + y² = 4((x – 1)² + y²)
この式を展開して整理すると、次の円の方程式が得られます。
(x – 2)² + y² = 4
答えの導出と円の中心・半径
この式は、中心が点(2,0)で半径が2の円の方程式です。したがって、点Pが描く軌跡は、中心が(2,0)で半径が2の円となります。
まとめ
点A（-2,0）からの距離と点B（1,0）からの距離の比が2:1である点Pの軌跡を求める問題は、距離の比を利用して式を整理し、最終的に円の方程式を導くことで解決します。点Pの軌跡は、中心が(2,0)、半径が2の円であることがわかりました。
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