重積分の1次変換による解法: 変換と計算の手法

重積分の1次変換を用いた問題の解き方について解説します。具体的には、以下の2つの重積分を1次変換を使って解く方法を示します。

1. 重積分の問題設定

問題1では、範囲が指定された領域Dに対して、次の積分を計算します。

∫∫D 3x dxdy (D: 0 ≦ x + 2y ≦ 1, 0 ≦ x – y ≦ 1)

問題2では、次の積分を計算します。

∫∫D (x + y) dydx (D: 0 ≦ x + y ≦ 1, |x – y| ≦ 1)

まず、これらの問題を解くためには、座標変換（1次変換）を使用して積分領域を新しい座標系に変換する方法を採ります。これにより、積分領域がより簡単な形に変換され、計算が楽になります。

1次変換の基本的な考え方は、複雑な領域Dを単純な領域に変換することです。例えば、問題1では変数変換を行い、x + 2y と x – y によって新しい変数uとvを設定することができます。

問題1を解くためには、まず次の変換を行います。

u = x + 2y、 v = x – y という変換を適用します。この変換により、積分領域が単純な形になります。次に、変換後の積分式を計算します。

新しい領域での積分は、簡単な範囲を持つことが多いため、計算が効率よく行えます。

問題2では、変数変換を使用して次のように変換します。

u = x + y、 v = x – y と設定し、変換後の領域に基づいて積分式を計算します。変換後の積分は、より扱いやすい形になるため、計算を進めるのが容易です。

重積分の問題を解く際、1次変換を使うことで積分領域を簡単な形に変換でき、計算が大幅に楽になります。問題1と問題2の解法においても、適切な変換を施すことで、複雑な積分を効率よく解くことが可能です。変換を用いることで、積分の計算が直感的に理解でき、処理の流れも簡単になります。