重積分の1次変換による計算方法｜数学問題の解説

このページでは、重積分の計算方法について、特に1次変換を用いたアプローチを解説します。問題は、次のような形式です。

問題の概要

与えられた重積分の式は以下の通りです。

∫∫D （x－y)^2dxdy、 D：｜x+2y｜≦1、｜x－y｜≦1

ここでDは、2つの不等式｜x+2y｜≦1と｜x－y｜≦1によって定義された領域です。この問題を解くために、1次変換を使用して簡単に解決する方法を見ていきます。

1次変換とは、座標変換を行って積分の範囲を簡単にする技術です。この問題においても、与えられた領域Dを新しい座標系に変換することで、積分を簡単に解けるようにします。

まず、変換の式を決定する必要があります。今回の問題では、xとyの線形な関係を利用して、2次元座標系を新しい座標系に変換します。

具体的には、以下の変換を行います。

u = x + 2y
v = x – y

これにより、問題の領域Dが新しいu, v平面に写像され、積分を行いやすくなります。

次に、変換された領域の範囲を決定します。与えられた不等式｜x+2y｜≦1、｜x－y｜≦1を新しい座標系u, vに代入することで、領域Dが新しい範囲に変換されます。

新しい範囲における積分を計算することで、元の問題を解くことができます。

この変換を行った後、1次変換による積分計算を進めます。具体的な積分方法と解答については、領域D内での計算を行い、最終的な答えを得ることができます。

この問題の解法では、1次変換を使って複雑な積分領域を簡素化し、計算を効率的に行う方法を示しました。このアプローチは、他の重積分問題にも応用できるため、数学における強力な技術の一つです。