この問題では、大きな数をモジュラー算術で扱う方法について説明します。具体的には、2026^2026を17で割った余りを求める方法について解説します。通常、こんな大きな数の計算を直接行うことは難しいですが、モジュラー算術を使うことで簡単に計算することができます。
1. モジュラー算術とは
モジュラー算術とは、余りを求める計算です。例えば、数aをbで割った余りを求めるとき、これを「a mod b」と表現します。モジュラー算術は、整数の性質を利用して、非常に大きな数を効率的に扱うために使われます。特に、累乗を扱うときに役立ちます。
2. 2026^2026を17で割った余りを求める方法
まず、2026 mod 17を求めます。2026を17で割ると、余りは2026 mod 17 = 2026 – (17 * 119) = 2026 – 2023 = 3 です。したがって、2026 mod 17 = 3となります。
次に、2026^2026を17で割った余りを求めるために、まず2026^2026を2026 mod 17を使って簡単にします。これにより、問題は実質的に3^2026 mod 17を求める問題に変わります。
3. オイラーの定理を利用する
オイラーの定理により、aがbと互いに素な整数であれば、a^φ(b) ≡ 1 (mod b)となります。ここでφ(b)はオイラーのトーシェント関数です。17は素数なので、φ(17) = 16です。つまり、3^16 ≡ 1 (mod 17) となります。
したがって、3^2026 mod 17を求めるには、2026を16で割った余りを考えます。2026 ÷ 16 = 126余り10です。これにより、3^2026 ≡ 3^10 (mod 17)となります。
4. 3^10 mod 17の計算
次に、3^10 mod 17を計算します。まず、3^2 mod 17を計算します。
- 3^2 = 9
- 9 mod 17 = 9
次に、3^4 mod 17を計算します。
- 3^4 = (3^2)^2 = 9^2 = 81
- 81 mod 17 = 81 – (17 * 4) = 81 – 68 = 13
次に、3^8 mod 17を計算します。
- 3^8 = (3^4)^2 = 13^2 = 169
- 169 mod 17 = 169 – (17 * 9) = 169 – 153 = 16
最後に、3^10 mod 17を計算します。
- 3^10 = 3^8 * 3^2 = 16 * 9 = 144
- 144 mod 17 = 144 – (17 * 8) = 144 – 136 = 8
したがって、2026^2026を17で割った余りは8です。
5. まとめ
2026^2026を17で割った余りを求めるためには、まず2026 mod 17を求め、その後オイラーの定理を利用して計算を簡略化します。最終的に、3^10 mod 17を計算して余りが8であることが分かりました。この方法を使うことで、非常に大きな数でも効率よく余りを求めることができます。
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