大学院入試の三重積分問題の解法と置換積分のポイント

大学院の微積分試験における三重積分問題で行き詰まった場合、特に積分の途中で平方根が絡むと、問題が複雑に感じられることがあります。このような問題に直面したとき、どのように整理し解決するかを解説します。

1. 三重積分問題の概要

問題文に出てくる「三重積分」は、通常、空間内の体積や物理量を求めるために使われます。三重積分では、積分する順番を変更したり、座標変換（例えば極座標への変換）を用いることがあります。ここでは、rの積分で1-r²をuに置換して、積分を行う方法に焦点を当てます。

rの積分において、1-r²をuに置き換えることで積分の計算を簡略化できます。しかし、置換積分をした後に現れる式に平方根が含まれることがあるため、どのように整理するかが問題となります。たとえば、√(1 – r²)のような式では、計算方法をしっかり把握しておくことが重要です。

置換後の式は、r²の範囲が0から1の間であれば、積分の範囲に合わせて適切に計算します。

問題には、「r⁴ + r² = 0」のような条件が現れることもあります。これは、rが0または-1の範囲であることを示唆しています。この条件を活用することで、余計な計算を省き、解の範囲を絞ることができます。例えば、r = 0の場合には、他の項が消えて簡単に計算ができるようになります。

これにより、平方根が絡む計算をより効率的に進めることができます。

問題の解答の過程で、置換積分後に出てくる式が平方根を含んでいる場合でも、適切な整理を行うことで最終的な結果にたどり着けます。例えば、r = 0における値を計算して、その後に他の範囲を積分していくと、最終的に問題で求められた解に辿り着きます。

このように計算を進めることで、rの範囲を上手く処理できるようになります。実際の解答は、細かな計算を含みますが、整理と条件をしっかり活用することで解決可能です。

三重積分の問題では、積分の範囲を確認し、置換積分をうまく活用することが解答の鍵です。平方根が絡む式を整理するためには、条件をしっかりと確認し、積分の手順を正確に進めることが大切です。また、問題を解く際には、どの範囲で変数が動くのかを正しく把握することが不可欠です。