二次関数の平方完成の解説：y = x² + ax - a

この問題では、与えられた二次関数 y = x² + ax – a を平方完成する方法を解説します。平方完成を行うと、式をより簡単な形で表現でき、関数のグラフを描くのが簡単になります。では、具体的にどう進めるか見ていきましょう。

平方完成とは？

平方完成とは、二次関数の式を完成形に変換して、式の中に「平方項」を使う方法です。これにより、関数の解の公式やグラフの特徴をより理解しやすくなります。例えば、一般的な二次式は、x² + 2ax + a² のような形になりますが、これを用いて式を整理します。

与えられた式 y = x² + ax – a を平方完成していきます。まず、x² の項と x の項を使って平方完成を進めます。

1. 元の式：y = x² + ax – a

2. x² + ax の部分を平方完成します。ここで必要な数は (a/2)² です。

3. (a/2)² を足して引いて、x² + ax + (a/2)² という形にします。

4. これを平方の形にまとめると、(x + a/2)² になります。

5. したがって、式は y = (x + a/2)² – a – (a/2)² となります。

平方完成した結果の式 y = (x + a/2)² – (a² / 4) では、(x + a/2)² の項が中心となり、これはグラフの頂点を示しています。つまり、平方完成によって式がどのように変化し、グラフの特徴を掴むことができます。

ここで重要なのは、平方完成によって二次関数が標準形 (x + a/2)² で表現され、簡単に解の公式に従って解くことができる点です。

y = x² + ax – a の平方完成を通して、式を (x + a/2)² – (a² / 4) の形に変形することができました。平方完成の手順を理解することで、二次関数の性質をより深く理解でき、問題を効率よく解くことができます。