整式F(x)の(x-2)³で割った余りから導く(x-2)と(x-2)²で割った余りの求め方

整式F(x)を(x-2)³で割った余りがx²+x+1であるとき、F(x)を(x-2)と(x-2)²で割った余りを求める方法について解説します。この問題では、多項式の割り算を利用し、余りの求め方を段階的に理解することが重要です。

問題の設定と余りの定義

まず、F(x)を(x-2)³で割った余りがx²+x+1であるという条件があります。この条件を使って、F(x)を(x-2)と(x-2)²で割った余りをそれぞれ求める方法を見ていきます。

まず、F(x)を(x-2)³で割ると、余りがx²+x+1になります。この情報をもとに、F(x)を他の多項式で割ったときの余りを求めるためには、剰余定理を用いるのが効果的です。

F(x)を(x-2)で割った余りを求めるためには、F(x)の値をx=2で代入して求めます。これは、(x-2)で割るということは、x=2におけるF(x)の値が余りに相当するためです。

したがって、F(2)を計算することで、F(x)を(x-2)で割った余りが求まります。

次に、F(x)を(x-2)²で割った余りを求める方法を考えます。F(x)を(x-2)²で割る場合も、剰余定理を利用して、F(x)をx=2で微分した結果を利用します。

具体的には、F(2)とF'(2)を計算し、それを元に(x-2)²で割った余りを求めます。F'(2)はF(x)の1階導関数をx=2で評価することで得られます。

F(x)が与えられた場合、まずはF(x)を(x-2)³で割った余りをもとにF(2)やF'(2)を計算します。そして、それぞれの余りを求めることができます。具体的な手順は、まずF(x)の構造を理解し、適切な微分や代入を行うことが求められます。

整式F(x)を(x-2)³で割った余りから、(x-2)と(x-2)²で割った余りを求めるためには、剰余定理や微分をうまく活用することが重要です。計算を通じて、余りの求め方を段階的に理解し、確実に導き出す方法を身につけましょう。