コンパクト空間の閉集合はコンパクト集合になることの証明

コンパクト空間における閉集合がコンパクト集合であることの証明について、ここではその概念と証明の流れを解説します。コンパクト集合の定義と閉集合の性質を理解した上で、証明方法に入っていきます。

コンパクト集合の定義

コンパクト集合とは、任意の開被覆に対して、有限部分被覆が存在する集合のことです。つまり、空間内の任意の開集合の集合で、その集合を覆う有限個の開集合を選ぶことができるという性質を持ちます。特に、ユークリッド空間などでは、コンパクト集合は閉かつ有界であるという特徴があります。

閉集合とは、集合がその補集合においても閉じているという性質を持つ集合です。直感的には、閉集合はその境界点を含んでおり、外部の点がその集合に近づいても集合内に留まるという特徴を持ちます。

コンパクト空間での閉集合がコンパクト集合であることを証明するには、次の2つのステップを確認します。

まず、閉集合であるということから、閉集合内で収束する点列の極限はその集合に必ず含まれるという性質を利用します。次に、任意の開被覆に対して、有限部分被覆が存在することを確認することで、コンパクト性を証明します。

1. 任意の開被覆に対して、有限部分被覆が存在することを示します。

2. 閉集合内での点列が収束する性質を使い、収束する点が閉集合内に含まれることを確認します。

3. これらの性質を組み合わせることで、閉集合がコンパクト集合であることを示します。

コンパクト空間における閉集合は、有限部分被覆を持ち、収束する点列が必ずその集合に収束する性質を持つため、コンパクト集合であることが証明されます。この証明の流れを理解することで、コンパクト集合と閉集合の関係をより深く理解できるようになります。