直線と放物線で囲まれる図形の面積を求める方法

数学の問題で、直線と放物線に囲まれた図形の面積を求める方法について解説します。今回は、直線 y = x – 1 と 2つの放物線 y = x(x – 1)、 y = x^2 – 3x + 3 によって囲まれた図形の面積を求めます。

問題の設定

与えられた直線と放物線の方程式は次の通りです。

この3つの関数で囲まれた図形の面積を求めます。

最初に、交点を求める必要があります。交点は、直線と放物線の関数が等しくなる場所で決まります。まずは、直線と放物線1の交点を求めましょう。

直線 y = x – 1 と放物線1 y = x^2 – x の交点を求めるために、両方の式を等しくします。

x – 1 = x^2 – x

この方程式を整理すると、x^2 – 2x + 1 = 0 となり、(x – 1)^2 = 0 です。したがって、交点は x = 1 です。

次に、直線 y = x – 1 と放物線2 y = x^2 – 3x + 3 の交点を求めます。

x – 1 = x^2 – 3x + 3

整理すると、x^2 – 4x + 4 = 0 となり、(x – 2)^2 = 0 です。したがって、交点は x = 2 です。

次に、交点で囲まれた面積を求めます。交点は x = 1 と x = 2 です。この範囲で、直線と放物線の間の面積を積分によって求めます。

まず、直線と放物線1で囲まれる面積を求めます。

面積 = ∫(x=1 to x=2) [(x – 1) – (x^2 – x)] dx

これを計算すると、面積 = ∫(x=1 to x=2) (2x – x^2 – 1) dx です。計算結果は、面積 = 0.5 です。

次に、直線と放物線2で囲まれる面積を求めます。

面積 = ∫(x=1 to x=2) [(x – 1) – (x^2 – 3x + 3)] dx

計算結果は、面積 = 0.5 です。

したがって、直線と2つの放物線で囲まれた図形の総面積は、面積 = 0.5 + 0.5 = 1 となります。

直線 y = x – 1 と 2つの放物線 y = x(x – 1)、 y = x^2 – 3x + 3 によって囲まれた図形の面積は、1 であることがわかりました。解法のステップとしては、交点を求め、その範囲で積分を使って面積を計算する方法でした。