y=-sinθ+cosθの最大値と最小値の求め方：問題解説

この問題では、y = -sinθ + cosθ の最大値と最小値を求める方法を解説します。問題の途中で出てくる変換や三角関数の範囲について詳しく説明し、最後に解答まで導きます。この記事を参考に、実際に計算を行ってみてください。

問題の整理と式の変形

まず、与えられた式 y = -sinθ + cosθ を簡単に整理します。この式を適切に扱うためには、三角関数の合成を利用して変形するのが効果的です。

式 y = -sinθ + cosθ を次のように書き換えます：
y = √2 sin(θ + 3/4π)

これにより、三角関数が合成されて簡単に最大値と最小値を求めることができます。

式を変形した後、次に範囲を確認します。問題で与えられた範囲は、0 ≦ θ ≦ π です。これを新しい角度変数に適用すると、θ + 3/4π の範囲は 3/4π ≦ θ + 3/4π ≦ 7/4π となります。

これにより、sin(θ + 3/4π) の範囲を求めることができます。

次に、なぜ sin(θ + 3/4π) が -1 ≦ sin(θ + 3/4π) ≦ 1/√2 となるのかを理解しましょう。

実は、sin(θ + 3/4π) は範囲を -1 から 1 まで持ちますが、変換後の係数 √2 によってこの範囲が変わります。具体的には、sin(θ + 3/4π) の最大値は 1 となり、その場合 √2 × 1 = √2 となり、最小値は -1 となり、√2 × -1 = -√2 となります。

したがって、sin(θ + 3/4π) の値は -1 ≦ sin(θ + 3/4π) ≦ 1/√2 となります。

ここから、y = √2 sin(θ + 3/4π) の最大値と最小値を求めます。まず、sin(θ + 3/4π) が最大のとき、y の値は √2 × 1 = √2 となり、最小のときは y = -√2 となります。

θ + 3/4π = 3/4π のときに sin(θ + 3/4π) が 1 となり、y の最大値は 1 です。逆に、θ + 3/4π = 3/2π のとき、sin(θ + 3/4π) は -1 となり、y の最小値は -√2 です。

この問題では、y = -sinθ + cosθ の最大値と最小値を求めるために、三角関数の合成と変換を使用しました。最終的に、y の最大値は 1、最小値は -√2 であることがわかりました。このような問題では、三角関数の範囲や合成をうまく利用することで、計算を効率的に進めることができます。