ベクトルの内積とcosBの関係について解説：三角形の例を用いて

高校数学

2026.01.07

今回は、三角形におけるベクトルの内積の計算と、cosBを求める方法について解説します。特に、ベクトルBAとベクトルBCの内積を求める際に、なぜcosBをAB/BCで求めるのか、またBC/ABではダメなのかについて、詳しく説明します。

1. ベクトルの内積とは？

ベクトルの内積は、2つのベクトルがどれだけ同じ方向に向いているかを示す数学的な操作です。ベクトルAとベクトルBの内積は、次の式で表されます。

A ・ B = |A| |B| cos(θ)

ここで、|A|と|B|はベクトルAとBの長さ（大きさ）で、θは2つのベクトルのなす角です。

今回の問題において、三角形でのベクトルBAとベクトルBCの内積を求めるためには、cosBを用いる必要があります。cosBは、角Bのcos（余弦）であり、三角形の辺の比を使って求めることができます。

内積の式において、cos(θ)は2辺の長さと角度によって決まるため、三角形における辺の長さの比が重要になります。この場合、cosBはABとBCの長さを使って求めることができます。

cosBをAB/BCで求める理由は、三角形の角Bにおいて、辺ABと辺BCが隣接する辺だからです。三角形の内積の計算において、cos(θ)は隣接辺の比として現れるため、AB/BCの比を使うことができます。

また、BC/ABでは計算が不正確になる理由は、cosBが隣接する辺の比であるため、ABとBCの順序が重要だからです。誤った辺の順番を使うと、角度に対応するcosの値が逆転してしまうことになります。

例えば、三角形においてAB=5、AC=4の場合を考えると、ABとBCの長さを用いてcosBをAB/BCの比で求め、内積を計算することができます。

この方法を使うと、ベクトルBA ・ベクトルBCの内積を簡単に求めることができ、さまざまな図形に応用が可能です。

三角形におけるベクトルの内積を求める際にcosBをAB/BCで求める理由は、cos(θ)が隣接辺の比で決まるからです。BC/ABでは計算が不正確になり、正しい内積計算を行うためには、ABとBCの辺の長さを使って正確にcosBを求めることが重要です。