解の配置と区間における解の存在範囲の求め方【数式による解説】

二次方程式の解の配置を求める問題は、数学の基礎的な内容として非常に重要です。特に区間ごとの解の存在範囲を求める問題は、解の個数をしっかり理解するための良い練習になります。今回は、二次方程式「x² – 2ax + a + 2 = 0」が、指定された区間において解を持つ条件を求める方法を解説します。

問題の設定と解法の基本

この問題は、与えられた二次方程式が異なる区間において少なくとも1つの解を持つような、aの範囲を求める問題です。区間ごとの解の数や配置に注目し、等号の有無が解に与える影響についても解説します。

まず、区間 (1)「1 < x < 3」について考えます。この区間では、解が1つ存在するために、二次方程式が区間内でx軸と交わる条件を満たす必要があります。解の配置については、方程式の判別式を使って、解が実数であることを確認します。

具体的には、判別式 Δ = b² – 4ac において、Δ > 0 となるようなaの値を求めます。また、区間内で解が存在するためには、x=1とx=3における値を代入して、解がその範囲内にあるかどうかを確認することも重要です。

次に、区間 (2)「1 ≦ x ≦ 3」について考えます。この区間では、端点も含まれるため、1つ以上の解が区間内に存在することが条件となります。等号を含む場合には、解の重解を含む可能性もあります。具体的には、判別式 Δ = 0 の場合、重解を持つことを意味します。

この区間では、x=1 や x=3 の位置も含めて考える必要があり、解が重解となる条件も含めて考察します。

区間 (3)「1 ≦ x < 3」では、1を含むが3は含まない場合です。この場合、解が区間内で1つ以上存在するための条件として、解の配置が考慮されます。判別式がΔ > 0 または Δ = 0 である場合に解が存在し、1における解の存在有無を確認する必要があります。

この区間の特徴は、解が区間の端点を含むかどうかに関わらず、区間内で解が存在することを確実にするために、数値を代入してその位置を確認する点です。

区間 (4)「1 < x ≦ 3」は、1を含まないが3を含む場合です。この場合も解の配置を確認するためには、端点における解の有無をチェックする必要があります。特に、3における解の存在を確認することが求められます。

同様に、判別式 Δ = 0 で解が重解となる場合の条件も加味して、解の数を決定します。この区間での解の配置がどのようになるかをしっかりと理解することが大切です。

以上のように、解の配置については区間ごとに注意深く確認し、判別式を使用して解の実数性や重解の有無を確かめることが重要です。問題を解く際には、区間における解の個数や配置がどのように変化するかを意識し、しっかりと理解を深めることが大切です。