x^2 – 2ax + a + 1 = 0 の実数解の範囲を求める方法

2次方程式 x^2 – 2ax + a + 1 = 0 の解について、与えられた条件を満たす実数 a の範囲を求める問題を解説します。問題には二つの条件があり、それぞれ異なる実数解の範囲について考える必要があります。

方程式の解の公式を利用する

まず、与えられた2次方程式 x^2 – 2ax + a + 1 = 0 の解を求めるために、解の公式を使用します。一般的な2次方程式 ax^2 + bx + c = 0 の解は、以下の公式を使って求められます。

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

ここで、a = 1, b = -2a, c = a + 1 として代入し、解の公式を適用します。

① 異なる2つの実数解のうち、1つが -1 < x < 1 を満たす

この条件を満たすために、まず方程式の判別式 Δ = b² – 4ac を求め、解が実数で異なる2つの解を持つことを確認します。Δが正であれば、方程式には異なる2つの実数解があります。

次に、1つの解が -1 < x < 1 を満たすという条件を、解の公式で求めた解に対して適用します。具体的には、解 x₁ と x₂ のうち、1つがこの範囲に収まるような a の値を求めます。

② 異なる2つの実数解のうち、1つが -1 ≦ x ≦ 1 を満たす

次に、この条件を考えます。-1 ≦ x ≦ 1 の範囲内に解が収まるような a の値を求めるには、解 x₁ と x₂ のうち、どちらかがこの範囲に収まるような条件を導きます。この範囲の中に解が収まるための具体的なaの範囲を求めます。

実数解が異なるための判別式

異なる2つの実数解を持つためには、判別式 Δ = b² – 4ac が正である必要があります。ここで b = -2a, c = a + 1 を代入すると、判別式は次のようになります。

Δ = (-2a)² – 4(1)(a + 1) = 4a² – 4a – 4 = 4(a² – a – 1)

この判別式が正であるためには、a² – a – 1 > 0 の条件を満たす必要があります。この二次不等式を解くことで、a の範囲を求めることができます。

まとめ：a の範囲を求める

与えられた2次方程式 x^2 – 2ax + a + 1 = 0 に対して、条件を満たす実数 a の範囲を求めました。まず、判別式を使って異なる実数解を持つ条件を確定し、次に解の範囲に応じた a の値を求めました。問題を解く際には、解の公式や判別式を用いて解の性質を確かめ、条件に合う a の範囲を導くことが重要です。