絶対値を含む方程式を解く際に、場合分けを行う理由について解説します。具体的な方程式「|3x + 8| = 5x」の解法を通じて、なぜ2つのケースを考慮する必要があるのかを説明します。
1. 絶対値とは？
絶対値は、数の大小に関係なく、数の「距離」を表すものです。例えば、|x|はxが0からどれだけ離れているかを示します。したがって、|3x + 8| = 5xのような方程式では、3x + 8が正か負かによって計算方法が異なります。
2. 場合分けの理由
絶対値が含まれる方程式は、条件に応じて式が異なる形になるため、場合分けをする必要があります。具体的には、|3x + 8| = 5xの場合、次の2つのケースを考えます。
- ケース1: 3x + 8 ≥ 0 の場合
- ケース2: 3x + 8 < 0 の場合
それぞれのケースで、絶対値を外して計算します。このように分けることで、すべての解を求めることができます。
3. 解法のステップ
次に、それぞれのケースについて方程式を解いていきます。
ケース1: 3x + 8 ≥ 0 の場合
この場合、|3x + 8| = 3x + 8 となり、方程式は次のようになります。
3x + 8 = 5x → 8 = 2x → x = 4
ケース2: 3x + 8 < 0 の場合
この場合、|3x + 8| = -(3x + 8) となり、方程式は次のようになります。
-(3x + 8) = 5x → -3x – 8 = 5x → -8 = 8x → x = -1
4. なぜ3x + 8 = 0の場合は無視するのか
3x + 8 = 0となる場合、x = -8/3です。この場合、|3x + 8| = 0となり、5xと比較することができません。したがって、この解は適用されません。
5. まとめ
絶対値を含む方程式「|3x + 8| = 5x」を解くためには、3x + 8が0以上か0未満かで場合分けを行います。それぞれの場合で解を求めることができ、最終的な解はx = 4とx = -1です。この場合分けは、絶対値の性質に基づいて正確な解を得るために必要な手法です。
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