数学において、2つの平面の交線を求める問題はよく出題されます。この問題では、2つの平面が交わる直線を求める方法について解説します。特に、交線の方程式を直線のパラメータ表示で表す方法について、分かりやすく説明します。
交線の求め方の基本
まず、2つの平面が交わる点は1つの直線を形成します。この直線を交線と呼びます。交線の方程式を求めるためには、2つの平面の方程式から直線を求める方法を理解する必要があります。ここでは、一般的な方程式を用いて交線を求める方法を詳しく見ていきます。
問題の設定と方程式
問題の設定として、次の2つの平面の方程式が与えられています。
平面α：3x – 2y + 6z – 6 = 0・・・①
平面β：3x + 4y – 3z + 12 = 0・・・②
交線ℓの方程式を求めるために、まずはこの2つの平面の交線がどのような形になるのかを理解することが重要です。
交線のパラメータ表示
交線ℓの方程式を求めるために、x、y、zの各座標を1つのパラメータで表す方法を考えます。この方法では、交線を次のように表現することができます。
ℓ： (x – x₁) / l = (y – y₁) / m = (z – z₁) / n
ここで、(x₁, y₁, z₁)は交線上の任意の点を表し、l, m, nは直線の方向を示すベクトルの成分です。
交線の方向ベクトルの求め方
次に、交線ℓの方向ベクトルを求めます。方向ベクトルは、平面αと平面βの法線ベクトルの外積を取ることで得られます。平面αの法線ベクトルは(3, -2, 6)、平面βの法線ベクトルは(3, 4, -3)です。この2つのベクトルの外積を計算することで、交線の方向ベクトルを求めることができます。
方向ベクトルは、交線がどの方向に進むかを示すベクトルであり、このベクトルを使用して交線の方程式を求めることができます。
交線の方程式を求める手順
交線の方程式を求めるためには、まず交点となる点を1つ求め、その後、交線の方向ベクトルを求めます。その後、パラメータ表示の形で交線の方程式を記述します。
この問題では、交線ℓを求めるために、2つの平面の交点を求め、それを基に交線の方向ベクトルを計算し、最終的にパラメータ表示で交線の方程式を得ることができます。
まとめ
2つの平面の交線の方程式を求めるためには、平面の方程式から交線を導き出し、パラメータ表示を用いてその方程式を記述する方法が有効です。交線の方向ベクトルを求めるためには、平面の法線ベクトルの外積を計算し、その情報を基に交線の方程式を求めます。この方法を理解することで、様々な平面の交線を求める問題に対応できるようになります。
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