等差数列の初項から第n項までの和の求め方：具体的な解法

この記事では、等差数列の問題における「初項から第n項までの和」を求める方法を詳しく解説します。問題文に示された条件をもとに、解法のステップを追いながら具体的に説明していきます。

問題文の理解と基本式

与えられた問題は「第4項が23、第10項が53である等差数列の初項から第n項までの和Snを求めよ」というものです。まず、等差数列の基本式を復習しましょう。等差数列の一般項は、次の式で表されます。

一般項の公式：an = a1 + (n – 1)d

問題では、a4 = 23、a10 = 53 という情報が与えられています。これを使って、初項a1と公差dを求めていきます。まずは、a4とa10の式を使って連立方程式を作り、a1とdを求めましょう。

a4 = a1 + 3d = 23 と a10 = a1 + 9d = 53 という式を立てることができます。

まず、a1 + 3d = 23 と a1 + 9d = 53 の連立方程式を解きます。

a1 + 9d = 53 から a1 + 3d = 23 を引くと、6d = 30 となり、d = 5 です。

d = 5 をa1 + 3d = 23 に代入すると、a1 + 15 = 23 となり、a1 = 8 となります。

初項a1 = 8 と公差d = 5 が求まりました。次に、等差数列の初項から第n項までの和Snを求めます。和の公式は次の通りです。

Sn = n/2 × (2a1 + (n – 1)d)

これを使って、特定のnに対する和を求めることができます。例えば、n = 10の場合、Sn = 10/2 × (2 × 8 + (10 – 1) × 5) = 5 × (16 + 45) = 5 × 61 = 305 となります。

等差数列の和を求める際には、まず与えられた条件から初項と公差を求め、その後、和の公式を使って解くことができます。このように、基本的な計算手順をしっかりと理解することが重要です。