微分方程式 x(∂z/∂x)+y(∂z/∂y)=x+y の解法と完全解・一般解の求め方

微分方程式 x(∂z/∂x)+y(∂z/∂y)=x+y の解法に関する内容を解説します。この方程式は、部分微分方程式であり、解法には変数分離法や積分因子などが活用されます。本記事では、完全解と一般解を求める方法を詳しく説明します。

問題の理解と方程式の構造

与えられた微分方程式は、以下のように表されます。

x(∂z/∂x) + y(∂z/∂y) = x + y

この方程式は、2変数 z の偏微分を含んでいます。ここで、z は x と y の関数です。このタイプの微分方程式は、変数分離法や一部積分法を使用して解くことができます。

完全解を求めるためには、まずこの方程式を整理して解きやすい形に変形します。方程式を分解して、x と y に関する項を分ける方法が有効です。

まず、方程式を以下のように書き換えます。

(∂z/∂x) + (∂z/∂y) = 1 + (y/x)

この形式にすることで、次に x と y の間に成り立つ関係を利用し、適切な方法で解くことができます。

一般解を求めるには、この方程式を積分することで z の一般的な表現を得ることができます。積分は、x と y の各変数に対して順番に行います。

解くために、まず x に関して積分を行います。次に y に関して積分を行い、その後定数を適切に調整します。

例えば、z = f(x) として x に関する項を解き、同様に y に関する項を解くことで、一般解の形が得られます。最終的な解としては、f(x) と g(y) の形で表されることが多いです。

具体例を使って、解法の手順を確認しましょう。例えば、x = 1, y = 2 の場合、この方程式は次のようになります。

このように、一般的な手順を踏むことで、どのような値に対しても解が得られます。

本記事では、微分方程式 x(∂z/∂x) + y(∂z/∂y) = x + y の完全解と一般解を求める方法について解説しました。解法は変数分離法や積分を使うことで求めることができ、具体的な手順を理解することが重要です。理解を深めるために、実際に問題を解いてみることをおすすめします。