自然数 n に対して、分数 n/(n+1) が常に既約分数であるかどうかについて考えてみましょう。この問題は、分数の約分に関する基本的な知識に基づいて解くことができます。本記事では、n/(n+1) が既約分数であることを数学的に証明し、その理解を深めるための具体例を紹介します。
分数の既約性とは？
まずは「既約分数」について説明します。既約分数とは、分子と分母が互いに素な（共通の約数を持たない）分数のことです。例えば、3/4 は既約分数ですが、4/8 は既約分数ではありません。4/8 は 2/4 まで約分できるため、既約分数ではないからです。
n/(n+1) が既約分数である理由
次に、n/(n+1) が常に既約分数である理由を考えます。n と n+1 は連続した自然数です。連続する自然数は、必ず互いに素な関係にあります。つまり、n と n+1 の最大公約数は 1 であるため、n/(n+1) は常に既約分数になります。
例えば、n = 5 の場合、分数は 5/6 となります。この場合、分子 5 と分母 6 の最大公約数は 1 であるため、5/6 は既約分数です。同様に、他の自然数でもこの関係が成立します。
具体例を使って確認
いくつかの具体例を通じて、n/(n+1) が既約分数であることを確認してみましょう。
- n = 3 の場合、分数は 3/4 です。最大公約数は 1 であるため、3/4 は既約分数です。
- n = 7 の場合、分数は 7/8 です。最大公約数は 1 であるため、7/8 は既約分数です。
- n = 12 の場合、分数は 12/13 です。最大公約数は 1 であるため、12/13 は既約分数です。
証明方法
n/(n+1) が常に既約分数であることを証明する方法は非常にシンプルです。n と n+1 は互いに素であるため、n と n+1 の最大公約数は 1 です。このため、n/(n+1) は約分不可能であり、必ず既約分数となります。
一般的に、n と n+1 が互いに素であることは、自然数における基本的な性質です。この性質を利用することで、n/(n+1) が常に既約分数であることがわかります。
まとめ
本記事では、n/(n+1) が常に既約分数である理由について解説しました。連続する自然数 n と n+1 は常に互いに素な関係にあるため、n/(n+1) は必ず既約分数であることがわかりました。数学的に簡単に証明できるこの性質は、分数の基本的な性質の一つです。
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