数学IA問題解説：判別式による2つの共有点の証明

この問題では、与えられた二次方程式が、常に2つの共有点を持つことを示すことが求められています。判別式を使って、どのようにしてこの証明を進めるかを説明します。問題の解答方法として、判別式を使った方法とその解説について詳しく解説します。

1. 問題の理解

問題では、二次関数y = x^2 + ax + (a-4)のグラフが、定数aの値に関わらず常に2つの共有点を持つことを示せというものです。これを示すために、判別式を用います。

まず、与えられた方程式x^2 + ax + (a-4) = 0を解くための判別式を求めます。判別式Dは、二次方程式ax^2 + bx + c = 0に対してD = b^2 – 4acで求められます。

問題において、与えられた方程式を解くためにまず判別式をDとおきます。D = a^2 – 4a + 16という形で表されます。このDの値が0以上になることで、必ず実数解を持つことがわかります。

次に、D = (a-2)^2 + 12という形に変形できます。この結果から、Dが常に正であることがわかります。したがって、与えられた二次方程式は、必ず2つの異なる実数解を持つことが示されます。

質問者は、自分の解答として、判別式D = a^2 – 4a + 16が0以下になるaの値は存在しないことを示す方法を選びました。しかし、この方法では、実際には判別式が常に正であることを証明するアプローチには至りませんでした。

判別式が0以下になるaの値が存在しないことを示すのではなく、むしろ判別式が常に正であることを示すことで、与えられた問題に正確に対応できます。

最終的に、問題で要求されている「常に2つの共有点を持つことを示せ」という条件を満たすためには、判別式Dが常に正であることを証明することが重要です。これにより、与えられた二次関数は必ずx軸と2つの共有点を持つことがわかります。

今回の解法の重要なポイントは、判別式の変形を正確に行い、Dが常に正であることを示すことでした。このように、数学的な問題解決においては、アプローチの違いが結果に大きな影響を与えることがわかります。