受験算数の問題で「1から100までの整数をすべてかけた数を10で何回割り切れるか？」という問題があります。この問題では、数式における因数分解や割り算の仕組みを理解することがポイントです。この記事では、問題の解き方とともに、解説を分かりやすく説明します。
問題の理解と必要な知識
問題で与えられている「1から100までの整数をすべてかけた数」を求めるためには、100の階乗（100!）を考えます。これは、100までのすべての整数を掛け合わせた値であり、非常に大きな数です。このような問題では、数を直接計算するのではなく、分解していく方法を取ります。
10で割る回数を求める方法
10で割り切れる回数を求めるには、10の因数分解を利用します。10は2と5の積であるため、1から100までの整数に含まれる2と5の因数をそれぞれカウントする必要があります。具体的には、2と5の倍数がいくつ含まれているかを数えます。
まず、2の倍数の数をカウントします。次に、5の倍数もカウントします。10で割れる回数は、5の倍数が重要です。なぜなら、2は比較的多く含まれている一方、5は頻度が少ないからです。
5の倍数とその冪
5の倍数は5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100と続きます。さらに、25の倍数（25, 50, 75, 100）は5の2乗を含むため、5の倍数よりも多くの5を含んでいます。このように、25の倍数を考慮することで、より多くの5をカウントできます。
最終的な割り切れる回数の求め方
最終的に10で割り切れる回数は、2の倍数の数と5の倍数の数のうち、少ない方が決定します。したがって、5の倍数を数えることがカギとなります。25の倍数や5の倍数の数を加算し、最終的に10で割り切れる回数を求めます。
まとめ
この問題では、1から100までの整数を掛けた数が10で割り切れる回数を求めるために、10の因数を分解し、5の倍数を数えることが重要です。直接的に計算するのではなく、分解して因数をカウントする方法を用いることで、解答を得ることができます。これを理解することで、類似した問題にも対応できるようになります。
コメント