正四面体の体積や角度を求める問題は、図形の性質を理解し、三角法を駆使することで解けます。ここでは、1辺の長さが3の正四面体ABCDにおいて、頂点Aから底面BCDに垂線AHを下ろし、さらに辺AB上に点Eをとる問題の解法を解説します。
問題設定
問題では、正四面体ABCDの各辺の長さが3であり、点Aから底面BCDに垂線AHを下ろす場面が与えられています。さらに、辺AB上に点E（AE=1）が与えられ、以下の問いが与えられています。
- (1) sin∠ABHを求めよ。
- (2) 四面体EBCDの体積を求めよ。
解法のアプローチ
正四面体において、各辺の長さが等しく、対称性が重要な役割を果たします。問題を解くためには、まず正四面体の高さや辺の長さを求める必要があります。以下のステップで進めます。
1. sin∠ABHの計算
sin∠ABHを求めるには、まずABHの角度を計算します。ABHは、正四面体の対称性を考慮し、三角法を使って求めます。計算手順に従って、必要な数値を代入して解きます。
2. 四面体EBCDの体積の計算
四面体EBCDの体積を求めるためには、点Eを含む四面体の体積公式を用います。具体的には、ベクトルの外積を使用して体積を求める方法が有効です。
具体例と計算のポイント
この問題では、まず正四面体の特性を活用し、角度や体積の計算を行います。特に重要なのは、三角関数を使って角度を求め、ベクトルの計算を使って体積を求める方法です。計算過程においては、正確な値を代入し、段階的に解いていきましょう。
まとめ
このような問題は、図形の性質を理解し、三角法やベクトルを使って解くことが求められます。正四面体の特性を活用することで、効率よく解くことができます。
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