a + b = 1 のときの式の大小関係を求める方法

「0 ＜ b ＜ a、a + b = 1 のとき、1/2、2ab、a^2 + b^2 の大小関係を求めなさい」という問題では、式の大小関係を理解するための基本的な方法を知っておくことが重要です。このガイドでは、各式の値を比較し、どの式が大きいか順番に並べる方法を詳しく解説します。

問題の設定と考え方

まず、与えられた条件を確認しましょう。条件は「0 ＜ b ＜ a」および「a + b = 1」です。この条件に基づいて、3つの式を比較して、どれが最も大きいかを求めます。式は次の通りです。

1/2、2ab、a² + b²

式を簡単に表現する方法

まず、a + b = 1という関係式から、aとbの関係を理解しましょう。a = 1 – b という形で、aはbを使って表すことができます。この形を使うことで、各式をbだけで表現でき、大小関係を比較することが容易になります。

各式の評価

次に、与えられた各式について評価を行います。まず、1/2は定数ですので、他の式と比較して変化しません。

次に、2abという式を考えます。a = 1 – bを代入すると、2ab = 2(1 – b)b = 2b – 2b² という式になります。この式はbの2次式であり、bが変化することで値も変わります。

最後に、a² + b²の式を考えます。a = 1 – bを代入すると、a² + b² = (1 – b)² + b² = 1 – 2b + b² + b² = 1 – 2b + 2b² という式になります。この式もbに依存し、bの値によって変動します。

式の大小関係を比較する

ここで、各式の大小関係を比較します。まず、bが0のとき、aは1であり、式の値は次のようになります。

1/2 = 1/2、2ab = 0、a² + b² = 1

次に、bが1/2のとき、aは1/2であり、式の値は。

1/2 = 1/2、2ab = 1/2、a² + b² = 1/2

このようにして、各式の値を確認すると、式の値の大小はbの値によって異なり、最大値を取るのはa² + b²であることがわかります。

まとめ

この問題では、与えられた条件に基づいて各式をbだけで表現し、その大小関係を比較する方法を学びました。最終的な結論として、与えられた式の中で最大となるのはa² + b²であることが確認できました。問題を解く過程で、式の変化に注目することが重要です。