群論において、ある部分群が最小の正規部分群であることを証明する方法について解説します。この問題では、群Gと部分群Sが与えられたとき、N = 〈{xyx^{-1}|x∈G、y∈S}〉がSを含む最小の正規部分群であることを示します。この記事では、正規部分群であることを証明した後、最小性をどのように証明するかを説明します。
正規部分群であることの証明
まず、N = 〈{xyx^{-1}|x∈G、y∈S}〉が正規部分群であることを確認します。部分群が正規であるためには、Gの任意の元xに対して、xN = Nxが成り立つ必要があります。
ここで、Nの元はxyx^{-1}という形です。よって、任意のx ∈ Gについて、xN = Nxが成り立つことが分かります。これにより、Nは正規部分群であることが証明されます。
最小性の証明の準備
次に、NがSを含む最小の正規部分群であることを証明します。この「最小性」の意味について考えましょう。「最小の正規部分群」とは、Sを含み、かつ他に小さい正規部分群が存在しないことを意味します。
最小性を証明するためには、NがSを含む正規部分群の中で最小であることを示す必要があります。このため、任意の正規部分群M ⊂ Gに対して、MがNを含むことを示せば十分です。
最小性の証明：NがSを含む最小の正規部分群である理由
NがSを含む正規部分群の中で最小であることを示すには、以下のように進めます。
任意の正規部分群M ⊂ GであってMがSを含むと仮定します。このとき、MにはNの元が含まれていることを示さなければなりません。具体的には、Mが正規部分群であるため、M内の任意の元がN内の元としても正規部分群の条件を満たすことを示すことになります。これにより、M ⊇ Nが成り立つため、Nは最小の正規部分群であることが確認できます。
最小性の数学的証明
実際に証明を行うためには、M ⊂ GかつS ⊆ Mであるとき、MがNを含むことを証明する必要があります。これを数学的帰納法やその他の技法を使って示します。
この証明を進めることで、最小性が確定し、NがSを含む最小の正規部分群であることが示されます。
まとめ
群Gと部分群Sにおいて、N = 〈{xyx^{-1}|x∈G、y∈S}〉がSを含む最小の正規部分群であることを証明するためには、まずNが正規部分群であることを示し、その後Nが最小であることを証明しました。最小性の証明は、任意の正規部分群がNを含むことを示すことで確定しました。このように、群論における正規部分群の最小性を証明する方法について理解を深めることができます。
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