2次方程式の解が負の整数になるaの値の求め方

2次方程式の解が共に負の整数となるような整数aの値を求める方法について解説します。問題の式はx² + ax + 2026 = 0という形をしており、解の公式を使ってaの値を求める過程を順を追って説明します。

2次方程式の解とその関係

一般的な2次方程式の形は、x² + bx + c = 0です。ここで、bとcは定数であり、xは解となる変数です。この式において、解の公式を使って解を求めることができます。

解の公式は次のように表されます。

x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

ここで、b² – 4acは判別式と呼ばれ、解が実数か虚数かを判断します。

与えられた2次方程式はx² + ax + 2026 = 0です。これを解くためには、解の公式を適用する必要があります。

まず、解の公式を使う前提として、aと2026の係数が重要です。この式におけるaは、解の公式のbにあたります。したがって、b = a、c = 2026となります。

問題の条件に従って、解が負の整数である必要があります。解が整数であるためには、判別式b² – 4acが完全な平方数である必要があります。判別式を求めてみましょう。

判別式 = a² – 4 × 1 × 2026 = a² – 8104

この判別式が完全な平方数であるためには、a² – 8104が整数の平方でなければなりません。

そのため、a² – 8104 = k²とおいて、この式を満たすaとkの整数解を求めることになります。

a² – 8104 = k²となるような整数aを求めるために、まずa²の値がk² + 8104となることを理解します。これにより、a²が8104より大きい平方数であることがわかります。

次に、k² + 8104が平方数であることを確かめ、kの範囲を調べます。このようにして、解が負の整数となるaの値を絞り込んでいきます。

この問題を解くためには、解の公式を使い、判別式が完全な平方数となるような整数aを求める必要があります。そのためには、a² – 8104が整数の平方である条件を満たすaの値を求めることが鍵となります。具体的な計算を行い、求めるaの値を得ることができます。