導関数の定義を用いた微分の方法解説

この記事では、導関数の定義に基づいて、関数を微分する方法を具体的な例を用いて解説します。まず、導関数の定義を理解したうえで、実際に与えられた関数をどのように微分するのかをステップごとに見ていきます。

1. 導関数の定義

導関数とは、ある関数がどれだけ速く変化するか、つまりその関数の傾きを表すものです。関数f(x)の導関数f'(x)は、以下の定義式を使って求めることができます。

f'(x) = lim (h → 0) [(f(x + h) – f(x)) / h]

この定義を使って、具体的な関数を微分していきます。

まずは最も簡単な関数、f(x) = 3x – 2 を微分します。この関数は1次関数で、導関数はその傾きに相当します。

定義に従い、f'(x) を計算します。

f'(x) = lim (h → 0) [(3(x + h) – 2) – (3x – 2)] / h = lim (h → 0) [(3h) / h] = 3

よって、f(x) = 3x – 2 の導関数は f'(x) = 3 です。

次に、f(x) = 3x^2 + 2x を微分します。この関数は2次関数で、導関数を求めるために同様に定義を使います。

f'(x) = lim (h → 0) [(3(x + h)^2 + 2(x + h)) – (3x^2 + 2x)] / h

この式を展開し、計算を進めると。

f'(x) = lim (h → 0) [(6xh + 3h^2 + 2h)] / h = lim (h → 0) [6x + 3h + 2] = 6x + 2

よって、f(x) = 3x^2 + 2x の導関数は f'(x) = 6x + 2 です。

最後に、f(x) = x^3 + 1 を微分します。これは3次関数です。

f'(x) = lim (h → 0) [(x + h)^3 + 1 – (x^3 + 1)] / h

式を展開して計算を進めると。

f'(x) = lim (h → 0) [(3x^2h + 3xh^2 + h^3)] / h = lim (h → 0) [3x^2 + 3xh + h^2] = 3x^2

よって、f(x) = x^3 + 1 の導関数は f'(x) = 3x^2 です。

この記事では、導関数の定義を使って3つの関数を微分しました。導関数の定義を理解し、実際に計算を進めることで、微分のプロセスがどのように行われるかを学ぶことができました。微分の基本的な考え方と計算方法をマスターすることは、さらに難しい関数の微分を理解するための基礎となります。