この問題では、関数f(x) = 2 cos 2x – 4(a – 2)cos x – (2a – 5)を、与えられた条件に基づいて変換し、解を求める方法について解説します。まずは、t = cos xという変数変換を使って関数を簡単化し、その後に方程式f(x) = 0の解を求める方法を説明します。
1. f(x) を t の式で表す
与えられた関数 f(x) = 2 cos 2x – 4(a – 2)cos x – (2a – 5) の t = cos x という変数変換を使います。まず、cos 2xを cos x の関数に変換する必要があります。cos 2x は、三重角の公式を用いて次のように変換できます。
cos 2x = 2(cos x)^2 – 1
これをf(x)の式に代入すると、次のようになります。
f(x) = 2[2(cos x)^2 – 1] – 4(a – 2)(cos x) – (2a – 5)
ここで、t = cos x とおくと、次のように表せます。
f(t) = 4t^2 – 2 – 4(a – 2)t – (2a – 5)
最終的に、f(t)は次の形になります。
f(t) = 4t^2 – 4(a – 2)t + (-2 – 2a + 5)
これがtの式で表されたf(x)です。
2. 方程式 f(x) = 0 の異なる実数解の個数を求める
次に、方程式 f(x) = 0 の異なる実数解の個数がちょうど2個になるようなaの範囲を求めます。前述のように、f(t) = 4t^2 – 4(a – 2)t + (-2 – 2a + 5)となり、これを0とした方程式を解きます。
4t^2 – 4(a – 2)t + (3 – 2a) = 0
この二次方程式が異なる実数解を持つためには、判別式（D）が正でなければなりません。判別式Dは次のように求められます。
D = b^2 – 4ac
ここで、a = 4、b = -4(a – 2)、c = 3 – 2a ですので、Dを計算すると。
D = [-4(a – 2)]^2 – 4(4)(3 – 2a)
D = 16(a – 2)^2 – 16(3 – 2a)
計算を進めると、判別式が正となるaの範囲を求めることができます。
3. 判別式の計算と解の範囲
判別式Dを展開して、正となるaの範囲を求めます。
D = 16(a – 2)^2 – 16(3 – 2a)
D = 16(a^2 – 4a + 4) – 16(3 – 2a)
D = 16a^2 – 64a + 64 – 48 + 32a
D = 16a^2 – 32a + 16
ここで、Dが正となる条件は、16a^2 – 32a + 16 > 0 です。この二次不等式を解くことで、aの範囲を求めることができます。
この不等式の解を求めると、aの範囲は -∞ < a < 1 または a > 2 であることがわかります。
まとめ
この問題では、不定方程式と変数変換を用いて関数を簡単化し、さらにその関数に対する実数解を求めました。方程式 f(x) = 0 の異なる実数解がちょうど2個になるaの範囲は、a < 1 または a > 2であることがわかりました。このように、関数をtの式で表すことで、問題を解く手順が整理でき、効率よく解くことができます。
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