x² - y² = p の問題における解法：自然数 x, y を p で表す方法

このページでは、数学の問題「x² – y² = p」の解法について詳しく解説します。特に、p が2より大きい素数の場合における解法を取り上げます。質問者が求めた解答「x = (p+1)/2, y = (p-1)/2」の理由を理解するための手順を説明します。

問題の式とその意味

まず、与えられた式 x² – y² = p は、因数分解の公式を用いて次のように変形できます。

(x + y)(x – y) = p

問題において p は素数です。素数 p に対して、(x + y) と (x – y) の積が p になるため、この二つの因数はそれぞれ1と p である必要があります。これにより、次の2つの式が得られます。

x + y = p と x – y = 1

これらの式を使って、x と y を求めます。まず、x + y = p と x – y = 1 の2つの式を足し合わせると、次のようになります。

2x = p + 1

したがって、x = (p + 1)/2 となります。

次に、x – y = 1 を使って、x の値を代入すると。

(p + 1)/2 – y = 1

これを解くと、y = (p – 1)/2 となります。

したがって、x = (p + 1)/2, y = (p – 1)/2 が求める解となります。このように、p が素数の場合、x と y はそれぞれ上記の式で表すことができます。理解のポイントは、p の性質に基づいて、x + y = p と x – y = 1 の式を設定し、それを解いていくことです。

「x² – y² = p」の問題では、p が素数であるとき、x と y は (p + 1)/2 と (p – 1)/2 で表すことができます。この解法は、因数分解と式の組み合わせに基づいています。理解するためには、問題の構造を正しく解釈し、適切な式を立てることが大切です。