指数関数のグラフは、関数の形やパラメーターによって大きく変化します。特に、定数項や変数の加減によるグラフの変化を理解することは、指数関数を学ぶ上で非常に重要です。この記事では、y＝2^(x+2) と y＝(1/2)^(x−1) という2つの関数のグラフがどのように変化するのか、わかりやすく解説します。
1. 基本的な指数関数の形
指数関数は、形として一般的にy＝a^xの形を持ちます。ここでaは定数で、xは変数です。aが1より大きい場合、グラフは右上がりに増加します。一方、aが0と1の間の場合、グラフは右下がりになります。
指数関数のグラフは、y軸に対して非対称で、x軸に近づくが決して交わらない特徴を持っています。y＝a^xの基本的なグラフを理解した上で、異なる式がどのように変化するかを考えていきます。
2. y＝2^(x+2) のグラフ
y＝2^(x+2)という関数は、y＝2^xをx軸に沿って左に2単位移動させたグラフです。一般的に、y＝2^xのグラフは原点を通り、右上がりになりますが、x+2という項が加わることで、グラフ全体が左にシフトします。
このように、指数関数の指数に定数を加えることは、グラフの平行移動を意味します。つまり、y＝2^(x+2)では、x＝-2の地点がグラフの新たな「原点」となり、グラフは左方向に移動します。
3. y＝(1/2)^(x−1) のグラフ
次に、y＝(1/2)^(x−1)について見てみましょう。この式では、(1/2)が底であるため、グラフは右下がりになります。また、x−1という項が含まれているため、y＝(1/2)^xのグラフが右に1単位移動します。
y＝(1/2)^(x−1)という式では、元のグラフが右にシフトするだけでなく、y軸との交点が変更されます。基本的な形は、y＝(1/2)^xに比べて右に1単位移動したものとなります。
4. まとめ：グラフの移動と変化
y＝2^(x+2)とy＝(1/2)^(x−1)のグラフを比較すると、どちらも指数関数ですが、式の違いによってグラフが異なる位置にシフトすることがわかります。y＝2^(x+2)は左に2単位移動し、y＝(1/2)^(x−1)は右に1単位移動することになります。
このように、指数関数の式に加える定数項がグラフの位置を決定します。xの前に加算することで、グラフを水平方向に移動させることができ、これを理解することで指数関数のグラフをより直感的に描くことができるようになります。
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