連立方程式で2点の関係を理解し、直線の方程式を求める方法

この記事では、2点 A(1, -2) と B(-3, 10) に対する連立方程式の解き方と、与えられた直線の方程式 y = -3x + 1 がこの2点に対してどのような線を表すのかについて解説します。数学の基礎的な理解を深めるために、まず連立方程式と直線の方程式の関係をしっかり学びましょう。

1. 2点 A(1, -2) と B(-3, 10) の関係を連立方程式で求める

与えられた2点 A(1, -2) と B(-3, 10) を結ぶ直線の方程式を求めるには、まずこの2点を通る直線の傾きを求める必要があります。傾きは次の式で求めます。

傾き (m) = (y2 – y1) / (x2 – x1)

ここで、(x1, y1) = (1, -2) と (x2, y2) = (-3, 10) です。これを代入すると、

m = (10 – (-2)) / (-3 – 1) = 12 / -4 = -3

したがって、この2点を結ぶ直線の傾きは -3 です。

2. 直線の方程式を求める

傾きがわかったら、次は直線の方程式を求めます。直線の方程式は一般的に次の形で表されます。

y = mx + b

ここで、mは傾き、bはy切片です。傾き m は既に -3 とわかっているので、y切片 b を求めるために、点 A(1, -2) を代入します。

-2 = -3(1) + b

解くと、b = 1 となります。したがって、直線の方程式は。

y = -3x + 1

3. y = -3x + 1 が表す直線

この直線の方程式 y = -3x + 1 は、xの値が増加するとyの値が減少する、負の傾きを持つ直線を表しています。つまり、この直線は左上から右下に向かって下がっていく直線です。

さらに、与えられた2点 A(1, -2) と B(-3, 10) はこの直線上に存在します。もし点 A を代入すると。

y = -3(1) + 1 = -2

点 A(1, -2) は確かにこの直線上にあることが確認できます。同様に、点 B を代入すると。

y = -3(-3) + 1 = 10

点 B(-3, 10) もこの直線上にあることが確認できます。

4. まとめ

今回の問題では、2点 A(1, -2) と B(-3, 10) を通る直線の方程式を連立方程式を使って求め、その直線の性質を理解しました。直線の方程式 y = -3x + 1 は、与えられた2点を通る直線であり、傾きが -3 であるため、xが増加するにつれてyが減少することがわかります。このような問題は中学数学でよく出題される内容なので、しっかりと理解しておきましょう。