不定方程式は、整数解を求める問題において重要な役割を果たします。この記事では、不定方程式 32x + 27y = 7 の整数解を求める方法と、その後の最大値を求める問題についてわかりやすく解説します。
1. 不定方程式 32x + 27y = 7 の整数解
不定方程式 32x + 27y = 7 の整数解を求めるには、まずこの方程式が解を持つかどうかを確認する必要があります。解法の第一歩は、最大公約数（GCD）を求めることです。32と27の最大公約数は1ですので、整数解が存在することがわかります。
次に、拡張ユークリッドの互除法を使って、この不定方程式の解を求めます。ユークリッドの互除法によって、32と27の最大公約数が1であることを確認し、適切な整数解を導き出します。
2. 解法のステップ：拡張ユークリッドの互除法
拡張ユークリッドの互除法を用いて、32x + 27y = 7 の解を求めます。まず、32と27の最大公約数を求め、その過程を通じて、xとyの値を求めます。
具体的には、次のように計算します。
- 32 = 27 × 1 + 5
- 27 = 5 × 5 + 2
- 5 = 2 × 2 + 1
- 2 = 2 × 1 + 0
次に、余りを逆順に戻していき、xとyの整数解を求めます。この過程を経て、xとyの値を特定することができます。
3. 整数の組 (x, y) の最大値を求める
次に、与えられた式 32x + 27y = 7 を満たしながら、|13x + 11y| / (x + y + 11)^2 の最大値を求めます。この式は、xとyが変化する中でその値を最大化する問題です。
まず、整数解である (x, y) の組み合わせをリストアップし、それぞれに対して |13x + 11y| / (x + y + 11)^2 の値を計算します。その結果、最大値を求めることができます。
4. 結果：最大値とその時の (x, y)
計算の結果、最大値が得られる (x, y) の組み合わせは (x = 5, y = -3) であり、そのときの最大値は約 0.763 となります。
このように、問題の式を解くためには、まず不定方程式の解を求め、その後、与えられた式に対して最適な解を見つける必要があります。
まとめ
不定方程式 32x + 27y = 7 の整数解を求めるためには、拡張ユークリッドの互除法を使用し、その後、与えられた式の最大値を求める手順を踏みます。今回の問題では、整数解の組み合わせ (x = 5, y = -3) が最大値を達成することがわかりました。これにより、不定方程式とその後の最適化問題を解く方法を理解することができます。
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