二乗して負の整数となる整数が存在しない理由の証明

整数の二乗が負の整数となることがないことを証明するには、基本的な算数と論理を使って証明できます。この記事では、この問題をどのように証明するか、その方法を詳しく解説します。

二乗した整数が負の整数になることはあり得ない

整数の二乗が負の整数になることはありません。まず、整数xに対して、その二乗を考えたとき、x²がどのような値をとるかを考えます。

x² = x × x という式は、xが正の整数であろうが負の整数であろうが、結果として必ず0以上の数値を得ます。具体的には、正の整数の場合、二乗すると正の整数が得られ、負の整数の場合でも、負の数を負の数で掛け算するため、やはり正の数が得られます。

整数の二乗が常に非負である理由

整数xに対してx²を求めると、必ず非負の整数が得られることがわかります。これを証明するためには、xを正の整数、負の整数、または0として分けて考えます。

• もしxが正の整数であれば、x²は明らかに正の整数です。
• もしxが0であれば、x² = 0 となり、非負整数です。
• もしxが負の整数であれば、x×x は正の整数になります。

これらから、整数の二乗は常に0以上の非負整数であることが確定します。

負の整数に二乗をしても負にはならない

したがって、整数の二乗が負の整数になることは不可能であることがわかります。負の整数になるためには、二乗する前の数が虚数である必要があり、整数の範囲内ではそのような数は存在しません。

まとめ

整数の二乗は常に非負整数となり、負の整数には決してなりません。整数xに対してx²を求めると、xが正、負、またはゼロであっても、その結果は必ず0以上の数値です。この事実から、整数の二乗が負の整数になることはあり得ないことが証明されます。