3次元円柱座標系で与えられた電荷密度から、円柱内の総電荷を求める問題について解説します。電荷密度がσ（r,z) = 1 + r²z²という形で与えられ、円柱の半径が1、高さが2の範囲内で総電荷を計算する方法を詳しく説明します。
問題の設定と式の理解
与えられた電荷密度は、r（半径）とz（高さ）に依存する関数です。電荷密度σ(r, z) = 1 + r²z²という式が与えられた場合、円柱内の電荷を求めるためには、この密度を円柱の体積要素に掛けて積分します。
総電荷は、次のように定義されます：Q = ∫∫∫ σ(r, z) dV。ここでdVは体積要素で、r, θ, zの3次元円柱座標系を用いて記述できます。体積要素dVはr, zに依存し、θ方向は2πで積分します。
円柱座標系での積分
3次元円柱座標系では、体積要素dVはrdrdθdzと表されます。このため、総電荷Qは次のような積分式で求められます。
Q = ∫∫∫ (1 + r²z²) r dr dθ dz。
問題の範囲は、半径rが0から1、高さzが-1から1までです。θは円周を一周するので、0から2πまで積分します。
積分の計算
これを具体的に計算していきます。最初にθ方向の積分を行うと、θに関しては単純に2πが掛かります。次にrとzについて積分を行います。
Q = 2π ∫[0,1] ∫[-1,1] (1 + r²z²) r dz dr
この式を計算すると、最初の項と2番目の項に分かれて積分できます。最初の項は、rとzに関して直接積分できます。2番目の項はr²z²があるため、zの積分を先に行います。
計算結果と総電荷
積分結果を求めると、総電荷Qが求められます。計算を進めると、最終的にQの値は以下のように得られます。
Q = 2π × [(積分結果)]
このように、与えられた電荷密度と円柱の寸法に基づいて、総電荷を計算することができます。
まとめ
3次元円柱座標系における電荷密度から総電荷を求めるには、円柱座標系の体積要素を使って積分を行います。電荷密度σ(r, z) = 1 + r²z²のようにrとzに依存する場合、θ方向に積分を行い、その後rとzについて積分することで、円柱内の総電荷を求めることができます。具体的な計算手順を追うことで、問題に正確にアプローチすることができます。
コメント