積分∫(log(x^n))/x^n dxの解法

この問題では、積分∫(log(x^n))/x^n dxの計算方法について解説します。このタイプの積分では、まず積分の形を整理し、適切な積分方法を適用することが重要です。

積分の式を整理する

与えられた積分は次のような形です。

∫(log(x^n))/x^n dx

まず、log(x^n)を簡略化します。log(x^n)は、log(x^n) = n * log(x) であるため、式は次のように変形できます。

∫(n * log(x))/x^n dx

定数nを積分外に出すと、積分は次のように簡略化されます。

n ∫log(x)/x^n dx

次に、積分の方法を考えます。この積分は部分積分を使うのが適切です。部分積分の公式は、次のように表されます。

∫u dv = uv – ∫v du

ここで、u = log(x)、dv = 1/x^n dxとおくと、du = 1/x dx、v = -1/((n-1)x^{n-1}) となります。この公式を適用して積分を解きます。

部分積分を適用すると、次のようになります。

n [log(x) * (-1/((n-1)x^{n-1}))) – ∫(-1/((n-1)x^{n-1})) * (1/x) dx]

この式を解くことで、最終的な解が得られます。計算を進めると、xのべき乗に関する項が残り、積分結果を得ることができます。

最終的な積分の結果は次のようになります。

n * [-log(x)/(x^(n-1)*(n-1))] + 定数

したがって、積分∫(log(x^n))/x^n dxの解は上記の通りです。

積分∫(log(x^n))/x^n dxを解くためには、まず式を整理し、部分積分を適用することで解法を進めます。計算を丁寧に行うことで、最終的な解を得ることができます。