外積とは？ベクトルの内積との違いや平行四辺形の意味をわかりやすく解説

外積は、ベクトルの演算の一つで、ベクトルの内積とは異なる特徴を持っています。特に、外積を求めるときに現れる平行四辺形の意味や、Sinθをかける理由について、数式とともに具体的な例を使って解説します。この記事では、外積の基礎からその応用まで、初心者でも理解しやすいように説明していきます。

外積と内積の違い

まず、外積と内積の違いについて簡単に説明します。内積は、二つのベクトルがどれだけ重なるか、つまり射影の大きさを求める演算です。内積の結果はスカラー値（数値）で表され、式は「｜a｜｜b｜cosθ」となります。

一方、外積は二つのベクトルが作る平行四辺形の面積を求める演算です。外積の結果は、ベクトルとして表され、方向も持つことが特徴です。これにより、内積と異なり、外積ではベクトル同士の方向性や面積に関連する計算が行われます。

外積を計算する際には、ベクトルの大きさだけでなく、ベクトル間の角度も重要です。外積の計算式は次のように表されます。

a × b = |a| |b| sinθ n

ここで、nはベクトル参照の方向を示す単位ベクトルです。これにより、外積はベクトルの大きさだけでなく、角度の情報（sinθ）が加わるため、結果的に平行四辺形の面積を求めることができます。

外積が平行四辺形になる理由は、二つのベクトルが形成する平行四辺形の面積を計算するからです。具体的には、ベクトル参照とベクトルbが成す角度がθであれば、その面積は｜a｜｜b｜sinθとなります。この面積が外積の大きさに相当するのです。

ベクトルの外積が表すのは、この平行四辺形の面積であり、その方向は、aとbが作る平面に垂直な方向になります。外積によって得られるベクトルは、その平面に垂直なベクトルとなり、方向が決まるという特徴があります。

外積を直感的に理解するために、実際の図を考えてみましょう。ベクトルaとベクトルbを平面上に描き、それらが作る角度をθとします。二つのベクトルが成す平行四辺形の面積が、外積の大きさです。

例えば、ベクトルaとベクトルbが直角（90度）を成す場合、その外積はベクトルaとベクトルbの長さを掛け合わせた値になります。しかし、角度θが変わると、その面積も変化します。角度θが90度に近いほど、外積の大きさは最大になり、逆に角度が0度または180度に近いと、外積はゼロになります。

外積は、物理学や工学など、様々な分野で応用されています。例えば、力学では、力と位置ベクトルの外積がトルクを表すために使われます。外積を用いることで、力が物体に対してどれだけ回転を引き起こすかを計算できます。

また、コンピュータグラフィックスにおいても、法線ベクトルを求める際に外積が使われます。これにより、物体の表面がどの向きにあるのかを計算することができます。

外積は、ベクトルの演算の中でも重要な役割を果たします。内積と異なり、外積はベクトルの大きさだけでなく、二つのベクトルが作る平行四辺形の面積を表します。Sinθをかけることで、角度に応じた面積が計算され、外積の方向が決まります。

このように、外積は単なる計算だけでなく、物理的な解釈や実生活での応用にも大いに役立っています。外積を理解することで、ベクトルに関する理解がさらに深まります。