高校数学の問題：不良品が1個以上含まれる確率を1/2より大きくする最小個数の求め方

この問題では、40個の製品のうち2個が不良品であるときに、何個以上の製品を取り出せば、少なくとも1個の不良品が含まれる確率が1/2より大きくなるかを求めます。この記事では、その解き方を順を追って説明します。

問題の理解とアプローチ

問題文にあるように、40個の製品の中から何個かを同時に取り出すとき、少なくとも1個の不良品が含まれる確率が1/2より大きくなる最小の個数を求めます。このような問題では、確率の計算を利用して解答を導くことができます。

確率の考え方として、まず「取り出した製品に不良品が含まれない確率」を計算し、その確率が1/2を下回る点を探す方法が有効です。これを逆算して、最小の取り出し個数を求めます。

まず、取り出す製品の数をn個としたとき、n個の製品の中に不良品が1つも含まれない確率を計算します。これは、良品の選ばれる確率のみを考慮した計算になります。

良品は40個中38個で、不良品は2個です。n個の製品が全て良品である確率は、以下のように計算されます。

良品のみを選ぶ確率 = (38/40) × (37/39) × … × [(38-n+1)/(40-n+1)]

この確率が1/2を下回るとき、少なくとも1個の不良品が含まれる確率が1/2より大きくなります。

実際に計算を行ってみると、n=12の場合、良品のみが選ばれる確率が1/2を下回ります。したがって、最小で12個を取り出せば、少なくとも1個の不良品が含まれる確率が1/2より大きくなります。

この問題では、確率を用いて不良品が1個以上含まれる確率が1/2より大きくなる最小の取り出し個数を求めました。最小個数は12個であることが分かりました。数学の問題においては、確率を逆算して解答を導く方法が有効です。この解法を理解することで、類似の問題にも対応できるようになります。