微分可能な関数の問題は、高校数学において重要なトピックの一つです。この問題では、f(x)がx=0で微分可能となるように、実数a, b, cを求めるという課題です。f(x)は2つの異なる関数に分かれており、x=0で連続性と微分の定義を用いて解く方法と、微分の定義だけを使って解く方法の2つがあります。この記事では、これらの解法の流れを詳しく解説します。
問題の設定と関数の定義
問題では、次のようにf(x)が定義されています。
f(x) = 1 + 3x – a cos(2x)/4x (x > 0)f(x) = bx + c (x ≤ 0)
目標は、x = 0でf(x)が連続であり、かつ微分可能であるように、定数a, b, cを求めることです。この問題を解くために、2つの方法を順に見ていきます。
その1：連続性と微分の定義を使って解く
まず、x = 0での連続性と微分の定義を使って解いていきます。関数f(x)がx = 0で連続であるためには、次の条件を満たさなければなりません。
lim (x→0+) f(x) = lim (x→0-) f(x) = f(0)
これは、xが0に近づくとき、右側のf(x)と左側のf(x)が等しく、かつx=0でのf(x)の値も一致することを意味します。次に、x = 0で微分可能であるためには、微分の定義を使って次の条件を満たす必要があります。
lim (h→0) (f(h) – f(0)) / h = f'(0)
これらの条件を用いて、a, b, cの値を求めていきます。
その2：微分の定義だけで解く
次に、微分の定義だけを使って解く方法について説明します。微分の定義に基づいて、x = 0での微分可能性を確認するために、右側と左側の導関数を求める必要があります。右側の導関数はx > 0の場合に適用され、左側の導関数はx ≤ 0の場合に適用されます。
微分の定義に基づいて、各関数をx=0で微分していきます。この際、微分可能であるためには、両側の微分が一致しなければなりません。したがって、得られた式をもとに、a, b, cの値を求めることができます。
解法のまとめ
この問題では、連続性と微分の定義を用いて、関数がx=0で微分可能であるための条件を導きました。まず、連続性を確認し、次に微分の定義を使って導関数が一致するようにしました。最終的に、定数a, b, cを求めることができました。
この問題のポイントは、連続性と微分可能性を定義に基づいて厳密に確認することです。微分の定義をしっかりと理解し、問題に適用することで、解答が導けます。
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